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已知函數f(x)=ax3-
3
2
(a+2)x2+6x+b在x=2處取得極值

(Ⅰ)求a的值及f(x)的單調區(qū)間
(Ⅱ)?x∈[0,3]使f(x)<b2,求b的范圍.
考點:利用導數研究函數的單調性,函數在某點取得極值的條件
專題:導數的綜合應用
分析:(Ⅰ)根據函數極值和導數之間的關系建立方程f′(2)=0,即可求a的值及f(x)的單調區(qū)間
(Ⅱ)(Ⅱ)?x∈[0,3]使f(x)<b2,等價為fmin(x)<b2,求出函數的最小值即可得到結論.
解答: 解:(Ⅰ)函數的導數f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6,
∵函數在x=2處取得極值,
∴f′(2)=12a-6(a+2)+6=0,解得a=1,
∴f′(x)=3x2-9x+6=3(x2-3x+2)=3(x-1)(x-2),
令f′(x)>0,則x<1或x>2,此時函數單調遞增,
令f′(x)<0,則1<x<2,此時函數單調遞減,
∴f(x)單調增區(qū)間(-∞,1)(2+∞),減區(qū)間(1,2).
(Ⅱ)∵f(x)=x3-
9
2
x2+6x+b,
由(Ⅰ)知:f(x)的極小值為f(2)=b+2,
f(0)=b,
f(x)極大值=f(1)=b+
5
2
,
f(3)=27-
9
2
×9+18+b=b+
9
2

∴函數f(x)的最小值為f(0)=b,
要使(Ⅱ)?x∈[0,3]使f(x)<b2,
f(x)min=b<b2,解得b<0或b>1.
點評:本題主要考查導數的應用,根據函數極值和導數之間的關系,求出a是解決本題的關鍵.要求熟練掌握導數的應用.
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3
2
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1
3
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