Question

已知圓C的方程為，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，

直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：（a＞b＞0）的右頂點和上頂點．

（1）求橢圓T的方程；

（2）已知直線l：y＝kx＋（k＞0）與橢圓T相交于P，Q兩點，O為坐標原點，

求△OPQ面積的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）1.

【解析】

試題分析：（1）思路一：由題設可知，過點M（2，4）作圓C的兩條切線中有一條斜率不存在，方程為，另一條斜率存在，可首先設出這條切線的斜率，利用圓的切線的性質(zhì)列方程確定斜率值從而得到切線方程，最后利用直線與圓的方程組成方程組，求出切點的坐標，即橢圓的頂點，進而求得橢圓的方程.

思路二：利用結(jié)論：設為圓外一定點，是圓的兩條切線，其中為切點，則直線的方程為：直接求直線的方程，以下同.

（2）利用直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組，結(jié)合韋達定理，求出用表示的弦長，利用點到直線的距離公式求出△OPQ的底邊上的高，從而將△OPQ面積表示成的函數(shù)，最后用基本不等式求出其最大值.

試題解析：（1）由題意：一條切線方程為：，設另一條切線方程為：

則：，解得：，此時切線方程為： 2分

切線方程與圓方程聯(lián)立得：，則直線的方程為

令，解得，∴；令,得,∴

故所求橢圓方程為 6分

（2）聯(lián)立整理得，

令，，則，，

，即：

原點到直線的距離為， 8分

，

∴[

當且僅當時取等號，則面積的最大值為1． 12分

 

考點：1、直線與圓的位置關系；2、直線與橢圓的位置關系；3、基本不等式.