已知函數(shù),
.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的最小值為0,回答下列問(wèn)題:
(ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
|
解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>
,且
.
當(dāng)時(shí),
,所以
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),由
,解得
;由
,解得
.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.
綜上述:時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間是
;
時(shí),
的單調(diào)遞減區(qū)間是
,單調(diào)遞增區(qū)間是
.
(2)(。┯桑1)知,當(dāng)時(shí),
無(wú)最小值,不合題意;
當(dāng)時(shí),
令,則
,
由,解得
;由
,解得
.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.
故,即當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),
=0.
因此,.
(ⅱ)因?yàn)?sub>,所以
.
由得
于是
.因?yàn)?sub>
,所以
.
猜想當(dāng),
時(shí),
.
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
①當(dāng)時(shí),
,故
成立.
②假設(shè)當(dāng) (
,
)時(shí),不等式
成立. 則當(dāng)
時(shí),
,
由(1)知函數(shù)
在區(qū)間
單調(diào)遞增,
所以,又因?yàn)?sub>
,
.
故成立,即當(dāng)
時(shí),不等式成立.
根據(jù)①②可知,當(dāng),
時(shí),不等式
成立.
|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如果對(duì)任意一個(gè)三角形,只要它的三邊長(zhǎng),
,
都在函數(shù)
的定義域內(nèi),就有
,
,
也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),則稱(chēng)
為“Л型函數(shù)”.則下列函數(shù):
①; ②
; ③
,
是“Л型函數(shù)”的序號(hào)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)函數(shù)在區(qū)間
上的導(dǎo)函數(shù)為
,
在區(qū)間
上的導(dǎo)函數(shù)為
,若在區(qū)間
上
恒成立,則稱(chēng)函數(shù)
在區(qū)間
上為“凸函數(shù)” .已知
,若對(duì)任意滿(mǎn)足
的實(shí)數(shù)
,函數(shù)
在區(qū)間
上為“凸函數(shù)”,則
的最大值為
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)= ,則f(2012)的值為( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為( )
A.1升 B.升 C.
升 D.
升
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知三棱錐的正(主)視圖與俯視圖如圖所示,俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,
則該三棱錐的側(cè)視圖可能為 ( )
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