Question

已知F₁、F₂分別為橢圓C：(a>b>0)的左、右焦點,且離心率為，點橢圓C上。

 (1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在斜率為k的直線與橢圓C交于不同的兩點M、N，使直線與的傾斜角互補，且直線是否恒過定點，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

 解：(1) 由已知得：，，結合，可解得：     ，

由已知直線F₂M與F₂N的傾斜角互補,

得    

化簡,得      

 

整理得 

直線MN的方程為,

    因此直線MN過定點,該定點的坐標為(2,0)

【思路點撥】（1）由已知條件可得出兩個關于的方程，結合，解得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，消去，得到一個關于的一元二次方程，再設出點的坐標，利用韋達定理得出坐標的關系，然后利用直線F₂M與F₂N的傾斜角互補，列出直線的斜率和截距的等式，化簡即可得結論。