Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2cosAcosC（tanAtanC-1）=1．
（Ⅰ）求B的大�。�
（Ⅱ）若a+c=

3 3

2

，b=

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式括號中利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系切化弦，去括號后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，再由誘導(dǎo)公式變形求出cosB的值，即可確定出B的大��；
（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC-1）=1得：2cosAcosC（

sinAsinC

cosAcosC

-1）=1，
∴2（sinAsinC-cosAcosC）=1，即cos（A+C）=-

1

2

，
∴cosB=-cos（A+C）=

1

2

，
又0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∴

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

1

2

，
又a+c=

3 3

2

，b=

3

，
∴

27

4

-2ac-3=ac，即ac=

5

4

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

5

4

×

3

2

=

5 3

16

．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．