【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求證：當(dāng)時，的圖象位于直線上方；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若曲線在點處的切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（為坐標(biāo)原點），求證：．

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立，令，求得和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得，進(jìn)入得到，即可得到結(jié)論.

（Ⅱ）設(shè)，由，解得，得到，所以，進(jìn)而得到要證，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（Ⅰ）由題意，當(dāng)時，的圖象位于直線上方，

即證當(dāng)時，恒成立，

令，可得，則，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，

所以當(dāng)時，的圖象始終在直線上方．

（Ⅱ）因為，則，

設(shè)，則，所以，

所以，所以，所以．

要證，

即證，即證，即證，

下面證明．令，∴，

所以當(dāng)，，，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，即，

所以，．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】針對某新型病毒，某科研機(jī)構(gòu)已研發(fā)出甲乙兩種疫苗，為比較兩種疫苗的效果，選取100名志愿者，將他們隨機(jī)分成兩組，每組50人.第一組志愿者注射甲種疫苗，第二組志愿者注射乙種疫苗，經(jīng)過一段時間后，對這100名志愿者進(jìn)行該新型病毒抗體檢測，發(fā)現(xiàn)有的志愿者未產(chǎn)生該新型病毒抗體，在未產(chǎn)生該新型病毒抗體的志愿者中，注射甲種疫苗的志愿者占.

產(chǎn)生抗體

未產(chǎn)生抗體

合計

甲

乙

合計

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表；

（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，判斷能否有的把握認(rèn)為甲乙兩種疫苗的效果有差異.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某高校在年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取名學(xué)生的筆試成績，按成績共分五組，得到如下的頻率分布表：

組號

分組

頻數(shù)

頻率

第一組

第二組

第三組

第四組

第五組

（1）請寫出頻率分布表中、、的值，若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，請估計全體考生的平均成績；

（2）為了能選出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第、、組中用分層抽樣的方法抽取名考生進(jìn)入第二輪面試，求第、、組中每組各抽取多少名考生進(jìn)入第二輪的面試；

（3）在（2）的前提下，學(xué)校要求每個學(xué)生需從、兩個問題中任選一題作為面試題目，求第三組和第五組中恰好有個學(xué)生選到問題的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同而構(gòu)造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結(jié)合二項式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.

（1）根據(jù)恒等式兩邊的系數(shù)相同直接寫出一個恒等式，其中；

（2）設(shè)，利用上述恒等式證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國的西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢變?yōu)榻?jīng)濟(jì)優(yōu)勢，實現(xiàn)了氣能源需求與供給的東西部銜接，工程建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展輸氣管道工程建設(shè)中，某段管道鋪設(shè)要經(jīng)過一處峽谷，峽谷內(nèi)恰好有一處直角拐角，水平橫向移動輸氣管經(jīng)過此拐角，從寬為米峽谷拐入寬為米的峽谷．如圖所示，位于峽谷懸崖壁上兩點、的連線恰好經(jīng)過拐角內(nèi)側(cè)頂點（點、、在同一水平面內(nèi)），設(shè)與較寬側(cè)峽谷懸崖壁所成角為，則的長為________（用表示）米．要使輸氣管順利通過拐角，其長度不能低于________米．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列是公差為0的等差數(shù)列，且滿足，是和的等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）求；

（3）設(shè)數(shù)列的通項公式，求；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知F1，F2為橢圓C：的左、右焦點，橢圓C過點M，且MF2⊥F1F2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）經(jīng)過點P（2，0）的直線交橢圓C于A，B兩點，若存在點Q（m，0），使得|QA|＝|QB|.

①求實數(shù)m的取值范圍：

②若線段F1A的垂直平分線過點Q，求實數(shù)m的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，我國大力發(fā)展新能源汽車工業(yè)，新能源汽車(含電動汽車)銷量已躍居全球首位．某電動汽車廠新開發(fā)了一款電動汽車．并對該電動汽車的電池使用情況進(jìn)行了測試，其中剩余電量y與行駛時問 (單位：小時)的測試數(shù)據(jù)如下表：

（1）根據(jù)電池放電的特點，剩余電量y與行駛時間之間滿足經(jīng)驗關(guān)系式：，通過散點圖可以發(fā)現(xiàn)y與之間具有相關(guān)性．設(shè)，利用表格中的前8組數(shù)據(jù)求相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否有99％的把握認(rèn)為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；(當(dāng)相關(guān)系數(shù)r滿足時，則認(rèn)為有99％的把握認(rèn)為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系)

（2）利用與的相關(guān)性及表格中前8組數(shù)據(jù)求出與之間的回歸方程；(結(jié)果保留兩位小數(shù))

（3）如果剩余電量不足0.8，電池就需要充電．從表格中的10組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選出8組，設(shè)X表示需要充電的數(shù)據(jù)組數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

附：相關(guān)數(shù)據(jù)：．

表格中前8組數(shù)據(jù)的一些相關(guān)量：，，

相關(guān)公式：對于樣本，其回歸直線的斜率和戧距的最小二乘估計公式分別為：，

相關(guān)系數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（I）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；

（II）若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

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