Question

現有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊．
（Ⅰ）求該射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求該射手的總得分X的分布列及數學期望EX．

Answer 1

【答案】分析：（I）記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由于A=B++，根據事件的獨立性和互斥性可求出所求；
（II）根據題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，根據事件的對立性和互斥性可得相應的概率，得到分布列，最后利用數學期望公式解之即可．
解答：解：（I）記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D
由題意知P（B）=，P（C）=P（D）=
由于A=B++
根據事件的獨立性和互斥性得
P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）
=×（1-）×（1-）+（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×
=
（II）根據題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5
根據事件的對立性和互斥性得
P（X=0）=P（）=（1-）×（1-）×=
P（X=1）=P（B）=×（1-）×（1-）=
P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×=
P（X=3）=P（BC）+P（BD）=××（1-）+×（1-）×=
P（X=4）=P（）=（1-）××=
P（X=5）=P（BCD）=××=
故X的分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P

所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=
點評：本題主要考查了離散型隨機變量的期望，以及分布列和事件的對立性和互斥性，同時考查了計算能力和分析問題的能力，屬于中檔題．