四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，側(cè)棱，，M、N兩點(diǎn)分別在側(cè)棱PB、PD上，.

(1)求證：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面垂直、二面角等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生用向量法解決立體幾何的能力，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力.第一問，連結(jié)AC、BD交于O，則在三角形APC中可知，在三角形PBO中，利用三邊長(zhǎng)，可知，利用線面垂直的判定得平面ABCD，所以建立空間直角坐標(biāo)系，得到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到和平面MNC的法向量的坐標(biāo)，可求出//，所以平面MNC；第二問，利用平面NPC的法向量垂直于和得到法向量的坐標(biāo)，利用夾角公式得到夾角的余弦值.
試題解析：設(shè)菱形對(duì)角線交于點(diǎn)，易知且
又.由勾股定理知，
又
 平面                      3分
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，
，，
，                    5分

⑴顯然，，平面的法向量
，由∥，知平面            8分    
⑵設(shè)面的法向量為 由
取，得                             10分

所以平面與平面的夾角的余弦值為.    12分
考點(diǎn)：1.向量法；2.夾角公式；3.線面垂直的判定.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一點(diǎn)，，，，，.

（1）求異面直線與所成的角；
（2）求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(理)已知直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)．如圖所示．
 
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，
且∥，是中點(diǎn)，平面，
， 是中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如圖2。

（1）求證：BC⊥平面A1DC；
（2）若CD=2，求BE與平面A1BC所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且．

（1）求證：平面；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.

(1)當(dāng)a=2時(shí),求證:AO⊥平面BCD.
(2)當(dāng)二面角A-BD-C的大小為120°時(shí),求二面角A-BC-D的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點(diǎn)．
 
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

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