Question

【題目】已知函數(shù)．

(I)當時，求過點(0，1)且和曲線相切的直線方程；

(2)若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實致的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）討論點是否是切點，是切點時，求出在該點的導函數(shù)就是切線的斜率，再運用直線的點斜式得切線方程；

不是切點時，設切點坐標，建立方程求出切點坐標，再求出切線方程；

（2）方法一：將整理成令，對求導，討論其零點的個數(shù)，就是函數(shù)的零點的個數(shù)，注意當最小值小于零時，需對取得最小值的點的左右兩側的函數(shù)判斷是否有零點的存在，可求出特殊點的函數(shù)值判斷其正負，根據(jù)零點存在定理判斷零點的存在；

方法二：由可得對a實行參變分離方法，構造新函數(shù)，對其求導研究此函數(shù)的單調(diào)性和最值，要使函數(shù)在上有兩個不同的零點，即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點，可得解.

（1）當時，，

當點為切點時，所求直線的斜率為，則過點且和曲線相切的直線方程為

當點不是切點時，設切點坐標為，

則所求直線的斜率為，所以，①易知②

由①②可得

即

設則

所以當時，當時，,

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又

所以有唯一的零點，

因為，所以方程的根為，即切點坐標為，

故所求切線的斜率為，則過點且和曲線相切的直線方程為.

綜上，所求直線的方程為或.

（2）解法一:令，

因為，所以函數(shù)的零點就是函數(shù)的零點，

當時，沒有零點，所以沒有零點.

當時，，當時，當時，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故是函數(shù)在上的最小值.

當即在上沒有零點，即在上沒有零點；

當即在上只有一個零點，即即在上只有一個零點；

當即，即在上有一個零點，所以在上有一個零點；

對任意的，都有，即，所以，即，令，則，所以

故在上有一個零點，

因此在上有兩個不同的零點，即在上有兩個不同的零點.

綜上，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是.

解法二：由可得

令，

則函數(shù)在上有兩個不同的零點，即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點，令得

當時，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最大值為

因為，并且當時，

所以當時，在上的圖象與直線有兩個不同的交點，

即當時，函數(shù)在上有兩個不同的零點.

所以，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是.