Question

若函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（2）=

2

5

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求滿足f（t-1）+f（t）＜0的t的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（I）依題意f（0）=0，可求得b，再由f（2）=

2

5

可求得a，從而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）可求得函數(shù)f（x）的解析式，利用奇函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調遞增即可求得f（t-1）+f（t）＜0的t的范圍．

解答： 解：（I）∵f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，解得b=0，…1分
則f（x）=

ax

1+x2

，
∴f（2）=

2a

1+4

=

2

5

，
∴a=1…4分
∴函數(shù)的解析式為：f（x）=

x

1+x2

（-1＜x＜1）…6分
（Ⅱ）∵f（t-1）+f（t）＜0，
∴f（t-1）＜-f（t），
∵f（-t）=-f（t），
∴f（t-1）＜f（-t），…8分
又∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
∴-1＜t-1＜-t＜1，
∴0＜t＜

1

2

…12分

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的奇偶性與單調性的應用，考查分析與運算能力，屬于中檔題．