Question

已知函數(shù)f(x)=x-

1

x

，g(θ)=sin2θ+

2

sinθ+cosθ

+

2

(1-a)cos(θ-

π

4

)+4-a(θ∈[0，

π

2

])，
（1）求證：f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）集合M={a|g(θ)＞0，θ∈[0，

π

2

]}，N={a|f[g(θ)]≥0，θ∈[0，

π

2

]}，求M∩N．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x），得當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，由此可得函（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）由題意，集合M∩N就是滿足集合M、N中的不等式都成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．解f（x）≥0，并結(jié)合集合M的條件可得g（θ）≥1恒成立，然后換元：設(shè)t=sinθ+cosθ=

2

cos(θ-

π

4

)∈[1，

2

]，將函數(shù)f（g（θ））表示成關(guān)于t的函數(shù)加以分析，可得a≤t+

2

t

恒成立，利用基本不等式求最值即可得到t+

2

t

有最小值2

2

，從而得到M∩N．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=x-

1

x

，
∴求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=1+

1

x2

＞1，可得當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
因此，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）由題意，得f（x）≥0等價(jià)于x≥1或-1≤x＜0，
故g（θ）≥1恒成立，
由θ∈[0，

π

2

]，可得cos（θ-

π

4

）∈[

2

2

，1]．
設(shè)t=sinθ+cosθ=

2

cos(θ-

π

4

)∈[1，

2

]，
則g(θ)=t2-1+

2

t

+(1-a)t+4-a，
∴g（θ）≥1，即t2-1+

2

t

+(1-a)t+4-a=(t+1)(t+

2

t

-a)≥0…（*）
由于t+1≥2為正數(shù)，所以不等式（*）等價(jià)于t+

2

t

-a≥0
可得a≤t+

2

t

恒成立，即a≤（t+

2

t

）_min，
∵函數(shù)y=t+

2

t

在（0，

2

）上是增函數(shù)，在（

2

，+∞）上為減函數(shù)
∴當(dāng)t=

2

時(shí)，t+

2

t

有最小值2

2

，因此a≤2

2

綜上所述，滿足集合M、N中的不等式都成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2

2

]，即M∩N=（-∞，2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出復(fù)合三角函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性與最值，并求集合的交集．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立的討論等知識(shí)，屬于中檔題．