Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F作互相垂直的兩直線AB、CD與拋物線分別相交于A、B以及C、D，若

1

|AF|

+

1

|BF|

=1．
（1）求此拋物線的方程．
（2）試求四邊形ACBD的面積的最小值．
（3）設(shè)N（n，0）（n＜0），過點N的直線與拋物線相交于P、Q兩點，且

NP

=

1

3

NQ

，試將|PQ|表示為n的表達式．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)直線AB的方程為y=k(x-

p

2

)，聯(lián)立

y=k(x- p 2 ) y2=4x

，得k2x2-(k2p+2p)x+k2

p2

4

=0，由此得到

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

xA+ P 2

+

1

xB+ P 2

=1，從而能求出拋物線的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由弦長公式得|AB|=4+

4

k2

，以-

1

k

換k得|CD|=4+4k²，由此能求出四邊形ACBD的面積的最小值．
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）直線PQ的方程為y=t（x-n），聯(lián)立

y=t(x-n) y2=4x

，得

t

4

y2-y-tn=0，由此能將|PQ|表示為n的表達式．

解答： 解：（1）設(shè)直線AB的斜率為k（k≠0），直線AB的方程為y=k(x-

p

2

)，
聯(lián)立

y=k(x- p 2 ) y2=4x

，消去y得k2x2-(k2p+2p)x+k2

p2

4

=0，
從而xA+xB=p+

2p

k2

，xA．xB=

p2

4

，
故

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

xA+ P 2

+

1

xB+ P 2

=1，
化簡整理得(p2-2p)(1-

1

k2

)=0，
故（p²-2p）=0，因為p＞0，
所以p=2，即拋物線的方程為y²=4x．（5分）
（2）設(shè)直線AB的斜率為k（k≠0），則直線CD的斜率為-

1

k

．
直線AB的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
從而xA+xB=2+

4

k2

，x_A．x_B=1，
由弦長公式得|AB|=4+

4

k2

，
以-

1

k

換k得|CD|=4+4k²，
故所求面積為

1

2

|AB||CD|=(4+4k2)(4+

4

k2

)×

1

2

=8(2+k2+

1

k2

)≥32（當k²=1時取等號），
即面積的最小值為32．（10分）
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）直線PQ的方程為y=t（x-n），
聯(lián)立

y=t(x-n) y2=4x

，消去x得

t

4

y2-y-tn=0，
△=1-4×

t

4

(-tn)＞0，即t2＜-

1

n

．
又

NP

=

1

3

NQ

，即y₂=3y₁，
由于y1+y2=

4

t

，y₁y₂=-4n，進而4y1=

4

t

，3y12=-4n，
消去y₁得

1

t2

=-

4n

3

，
|PQ|=

1+ 1 t2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 t2

16 t2 +16n

=

4

3

4n2-3n

（n＜0）．（14分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，考查弦長的表達式的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的靈活運用．