Question

【題目】如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分別是AB、PD的中點，∠ADP＝45°.

（1）求證：AF∥平面PCE.

（2）求證：平面PCD⊥平面PCE.

（3）若AD＝2，CD＝3，求點F到平面PCE的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）關鍵是證明AF與平面PEC內的一條直線平行，為此可取PC的中點G，論證AF∥EG；（2）可轉化為證明線面垂直；（3）可以充分運用（2）的結論，結合線段比例關系求解點F到平面PCE的距離

試題解析：（1）證明：設M為PC中點，連接ME、MF.

則MF∥ CD，MF= CD，AE∥CD，AE=CD

∴MF∥AE，MF=AE∴四邊形AEMF為平行四邊形．…………2分

∴AF∥ME，又∵ME平面PCE，AF平面PCE

∴AF∥平面PCE. …………4分

（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，

∴△PAD為等腰直角三角形，∵PF＝FD，∴AF⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，PA平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD. …………6分

∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，

CD⊥AD，CD平面ABCD.

∴CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD，

又∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.

∵EM∥AF，

∴EM⊥平面PCD.

∵EM平面PCE，

∴平面PCE⊥平面PCD. …………8分

（3）過點F作FG⊥PC，交PC于G，∵平面PCE⊥平面PCD，∴FG⊥平面PCE，即FG為點F到平面PCE的距離．…………10分

在Rt△PCD中，PD＝2，PC＝.

∵△PFG∽△PCD，∴，

∴FG＝.…………12分