【題目】已知橢圓的離心率為
其右頂點(diǎn)為
,下頂點(diǎn)為
,定點(diǎn)
,
的面積為
過點(diǎn)
作與
軸不重合的直線
交橢圓
于
兩點(diǎn),直線
分別與
軸交于
兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)試探究的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值,說明理由.
【答案】(1);(2)定值
,理由見解析
【解析】
(1)利用三角形面積公式結(jié)合離心率列出方程,求解即可;
(2)利用點(diǎn)斜式寫出直線PQ,BP,BQ的方程,令,得點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo),求出
,將直線
代入橢圓方程利用韋達(dá)定理得出
,
,化簡即可判斷
為定值.
(1)由已知,的坐標(biāo)分別是
由于
的面積為
,
有
,又由
得
,解得
∴橢圓的方程為
;
(2)設(shè)直線PQ的方程為,P,Q的坐標(biāo)分別為
則直線BP的方程為,令
,得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)
直線BQ的方程為,令
,得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)
把直線代入橢圓
得
由韋達(dá)定理得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
,長軸長為
.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),若點(diǎn)
滿足
,求證:由點(diǎn)
構(gòu)成的曲線
關(guān)于直線
對稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,空間直角坐標(biāo)系中,四棱錐的底面是邊長為
的正方形,且底面在
平面內(nèi),點(diǎn)
在
軸正半軸上,
平面
,側(cè)棱
與底面所成角為45°;
(1)若是頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過
、
兩點(diǎn)的拋物線上的動點(diǎn),試給出
與
滿足的關(guān)系式;
(2)若是棱
上的一個(gè)定點(diǎn),它到平面
的距離為
(
),寫出
、
兩點(diǎn)之間的距離
,并求
的最小值;
(3)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)(
),使得當(dāng)
取得最小值時(shí),異面直線
與
互相垂直?請說明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將所有平面向量組成的集合記作,
是從
到
的映射,記作
或
,其中
都是實(shí)數(shù).定義映射
的模為:在
的條件下
的最大值記做
.若存在非零向量
,及實(shí)數(shù)
使得
,則稱
為
的一個(gè)特征值.
(1)若求
;
(2)如果,計(jì)算
的特征值,并求相應(yīng)的
;
(3)試找出一個(gè)映射,滿足以下兩個(gè)條件:①有唯一特征值
,②
.(不需證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在閉區(qū)間[a,b]和常數(shù)C,使得對任意x∈[a,b]都有f(x)=C,稱f(x)為“橋函數(shù)”.
(1)作出函數(shù)的圖象,并說明f(x)是否為“橋函數(shù)”?(不必證明)
(2)設(shè)f(x)定義域?yàn)?/span>R,判斷“f(x)為奇函數(shù)”是“為’橋函數(shù)’”的什么條件?給出你的結(jié)論并說明理由;
(3)若函數(shù)是“橋函數(shù)”,求常數(shù)m、n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)函數(shù),如果對任意一個(gè)三角形,只要它的三邊長
、
、
都在
的定義域內(nèi),就有
、
、
也是某個(gè)三角形的三邊長,則稱
為“雙三角形函數(shù)”.
(1)判斷,
,
中,哪些是“雙三角形函數(shù)”,哪些不是,并說明理由;
(2)若是定義在
上周期函數(shù),值域?yàn)?/span>
,求證:
不是“雙三角形函數(shù)”;
(3)已知函數(shù),
,求證:函數(shù)
是“雙三角形函數(shù)”.(可利用公式“
”)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P–ABCD中,,
.
(1)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)M,,且
平面PCD,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若,
,
,且
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線
(
為參數(shù)) 上任意一點(diǎn)
經(jīng)過伸縮變換
后得到曲線
的圖形.以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知直線
.
(Ⅰ)求曲線和直線
的普通方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線
的距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體的棱長為2,
為體對角線
上的一點(diǎn),且
,現(xiàn)有以下判斷:①
;②若
平面
,則
;③
周長的最小值是
;④若
為鈍角三角形,則
的取值范圍為
,其中正確判斷的序號為______.
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