數(shù)列{an}中，數(shù)列{an•an+1}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求使anan+1+an+1an+2＞an+2an+3成立的q的取值范圍；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前2n項的和S2n．
【答案】
分析：（ I）由題意可知，a
n+1a
n+2=a
na
n+1q，a
n+2a
n+3=a
na
n+1q
2，結(jié)合已知a
na
n+1+a
n+1a
n+2＞a
n+2a
n+3，代入等比數(shù)列的通項，可求q的范圍
（ II）由數(shù)列{a
n•a
n+1}是公比為q的等比數(shù)列，得，
，則數(shù)列{a
n}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，需要對q=1和q≠1兩種情況討論，分別利用分組求和可求
解答：解：（ I）∵數(shù)列{a
n•a
n+1}是公比為q的等比數(shù)列，
∴a
n+1a
n+2=a
na
n+1q，a
n+2a
n+3=a
na
n+1q
2，
由a
na
n+1+a
n+1a
n+2＞a
n+2a
n+3得a
na
n+1+a
na
n+1q＞a
na
n+1q
2
∴1+q＞q
2，即q
2-q-1＜0（q＞0），
解得
．（4分）
（ II）由數(shù)列{a
n•a
n+1}是公比為q的等比數(shù)列，得
，
這表明數(shù)列{a
n}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q，（8分）
又a
1=1，a
2=2，
∴當(dāng)q≠1時，S
2n=a
1+a
2+a
3+a
4+…+a
2n-1+a
2n
=（a
1+a
3+…+a
2n-1）+（a
2+a
4+a
6+…+a
2n）
=
，（10分）
當(dāng)q=1時，S
2n=a
1+a
2+a
3+a
4+…+a
2n-1+a
2n
=（a
1+a
3+…+a
2n-1）+（a
2+a
4+a
6+…+a
2n）
=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…（12分）
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用及分組求和方法的應(yīng)用，而利用等比數(shù)列的求和公式進行求解時，一定要注意對公比q是否為1的考慮
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2009-2010學(xué)年高考模擬數(shù)學(xué)專題：壓軸大題（解析版）
題型：解答題
給定項數(shù)為m（m∈N*，m≥3）的數(shù)列{an}，其中ai∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一個正整數(shù)k（2≤k≤m-1），若數(shù)列{an}中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱數(shù)列{an}是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列{an}：0，1，1，0，1，1，0．因為a1，a2，a3，a4與a4，a5，a6，a7按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列{an}是“4階可重復(fù)數(shù)列”．
（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列
①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這5項；
（Ⅱ）若數(shù)為m的數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是多少？說明理由；
（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列{an}不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項am后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且a4=1，求數(shù)列{an}的最后一項am的值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2010年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：創(chuàng)新題（2）（解析版）
題型：解答題
給定項數(shù)為m（m∈N*，m≥3）的數(shù)列{an}，其中ai∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一個正整數(shù)k（2≤k≤m-1），若數(shù)列{an}中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱數(shù)列{an}是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列{an}：0，1，1，0，1，1，0．因為a1，a2，a3，a4與a4，a5，a6，a7按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列{an}是“4階可重復(fù)數(shù)列”．
（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列
①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這5項；
（Ⅱ）若數(shù)為m的數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是多少？說明理由；
（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列{an}不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項am后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且a4=1，求數(shù)列{an}的最后一項am的值．
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