Question

設(shè)偶函數(shù)y=f（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R都有f（x）=f（x+4），當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x+b²-b-

11

4

（a∈R，b∈R），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知可得f（0）=f（4），解得a，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性與當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立，即可得出．

解答： 解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R都有f（x）=f（x+4），當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x+b²-b-

11

4

．
∴f（0）=f（4），解得a=-

1

4

．
代入有f（x）=-

1

4

x2+x+b2-b-

11

4

．
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立，
∴f（1）＜0，化為

3

4

+b2-b-

11

4

＜0，即b²-b-2＜0，解得-1＜b＜2．
故答案為：（-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．