Question

（2010•湖北模擬）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面A₁ABB₁⊥BC，且A₁C與底面成45°角，AB=BC=2，則該棱柱體積的最小值為（　　）

• A．4

  3

• B．3

  3

• C．4
• D．3

Answer 1

分析：過A₁作A₁H⊥AB，垂足為H，連接HC，可以證出A₁H⊥面ABC，A₁H為三棱柱的高，∠A₁HC為 A₁C與底面成角，∠A₁HC=45°，A₁H為三棱柱的高與CH相等，而當CH⊥AB，即CH與CB重合時取得最小．

解答：解：過A₁作A₁H⊥AB，垂足為H，連接HC，
∵側面A₁ABB₁⊥BC，A₁H?面A₁ABB₁，∴BC⊥A₁H，
∵AB∩BC=B，∴A₁H⊥面ABC，
A₁H為三棱柱的高．HC為A₁C在底面上的射影，
∠A₁HC為 A₁C與底面成角，∠A₁HC=45°，
∴△A₁HC 為等腰直角三角形，A₁H=CH，
當CH最小時，三棱柱的高最小，從而該棱柱體積最�。�
而當CH⊥AB，即CH與CB重合時，取得最小值2
此時V=S_△ABC×A₁H=

1

2

×AB×BC×A₁H=

1

2

×2×2×2=4
故選C．

點評：本題考查線面垂直關系的應用、判定．線面角的意義，體積的計算．考查空間想象能力、轉化、計算、推理論證能力．