Question

如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）若點F為BE的中點，求直線AF與平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出∠ABD=90°，∠EDB=∠CDB=∠ABD=90°，從而得到平面EBD⊥平面ABD，由此能夠證明ED⊥AB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，以D為原點，以DB為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AF與平面ADE所成角正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在△ABD中，
由余弦定理：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠DAB，
∴BD=2

3

，
∴△ABD和△EBD為直角三角形，此即ED⊥DB，
而DB又是平面EBD和平面ABD的交線，且平面EBD⊥平面ABDED?平面EBD且ED?平面ABD，
∴ED⊥平面ABD，同時AB?平面ABD，
∴AB⊥DE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ABD=∠CDB=90°，以D為坐標原點，DB，DC，DE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，B(2

3

，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)A(2

3

，-2，0)，則F(

3

，0，1)，
設平面ADE的法向量為

n

=（x，y，z），則有

2 3 x-2y=0 2z=0

，
令x=1，則n=(1，

3

，0)，

AF

=(-

3

，2，1)，
設直線AF與平面ADE所成角為α，
則有sinα=cos＜n，

AF

＞=

n• AF

|n|×| AF |

=

3

2× 8

=

6

8

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．