Question

（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，底面ABCD，，.

（1）求證：；

（2）點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面EAD的距離.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、點(diǎn)到面的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分析問題解決問題的能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力. 第一問，利用線面垂直“PA⊥底面ABCD”的性質(zhì)可得PA⊥CD，而PC⊥CD，則利用線面垂直的判定可得CD⊥平面PAC，所以CD垂直于面PAC內(nèi)的線；第二問，由于為等腰三角形，所以AE⊥PC，且，利用第一問中的結(jié)論，可知AE⊥CD，利用線面垂直的判定得AE⊥平面PCD，作輔助線CF⊥DE，則可得CF⊥平面EAD，從而可判定CF即為點(diǎn)C到面EAD的距離，在中解出CF的長(zhǎng)即可.

試題解析：（Ⅰ）證明：

因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，

因?yàn)椤螾CD＝90，所以PC⊥CD，

所以CD⊥平面PAC，

所以CD⊥AC． …4分

（Ⅱ）因?yàn)镻A＝AB＝AC＝2，E為PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC，．

由（Ⅰ）知AE⊥CD，所以AE⊥平面PCD．

作CF⊥DE，交DE于點(diǎn)F，則CF⊥AE，則CF⊥平面EAD．

因?yàn)锽C∥AD，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C到平面EAD的距離相等，

CF即為點(diǎn)C到平面EAD的距離． …8分

在Rt△ECD中，．

所以，點(diǎn)B到平面EAD的距離為． …12分

考點(diǎn)：線線垂直、線面垂直、點(diǎn)到面的距離.