Question

如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，，

分別為的中點，.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）∵四邊形是菱形，

∴．

在中，，，∴．

故，即．  又，    ∴．

∵平面，平面，

∴．又∵，∴平面

又∵平面，平面平面．       …………………（6分）

（2）解法一：由（1）知平面，而平面，

∴平面平面∵平面，∴．

由（1）知，又

∴平面，又平面，

∴平面平面．∴平面是平面與平面的公垂面．

所以，就是平面與平面所成的銳二面角的平面角．

在中，，即．

又，∴．

故平面與平面所成的銳二面角的余弦值．…………………（12分）

解法二：以為原點，、分別為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示．因為，，所以，

、、、，

，，

由（1）知平面，

故平面的一個法向量為

設平面的一個法向量為，

則 ，即，令，

則．  ∴．

故平面與平面所成的銳二面角的余弦值．…………………（12分）