Question

已知⊙O：x²+y²=4的兩條弦AB，CD互相垂直，且交于點(diǎn)M（1，

2

），則AB+CD的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：由于直線AB、CD均過(guò)M點(diǎn)，故可以考慮設(shè)兩個(gè)直線的方程為點(diǎn)斜式方程，但由于點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的情況，故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況，然后利用弦長(zhǎng)公式，及基本不等式進(jìn)行求解．

解答： 解：當(dāng)AB的斜率為0或不存在時(shí)，可求得AB+CD=2（

2

+

3

）
當(dāng)AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y-

2

=k（x-1），
直線CD的方程為y-

2

=-

1

k

（x-1），
由弦長(zhǎng)公式可得：AB²=4•

3k2+2 2 k+2

k2+1

，CD²=

2k2-2 2 k+3

k2+1

，
∴AB²+CD²=20
∴（AB+CD）²=AB²+CD²+2AB×CD≤2（AB²+CD²）=40
故AB+CD≤2

10

，即AB+CD的最大值為2

10

．
故答案為：2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線方程的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．