如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).(1)求證:PB⊥DM;(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在點(diǎn)E,且PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60o.若存在求出λ值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(1)建系,利用,證明PB⊥DM
(2)
(3)先假設(shè)存在,求出法向量,可以算出無(wú)解,所以不存在符合要求的解.
【解析】
試題分析:(1)如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
A(0,0,0),B(2,0,0),
C(2,1,0),D(0,2,0)
M(1,,1),N(1,0,1),
E(0,m,2-m),P(0,0,2)
(2,0,-2),
(1,-
,1),
="0"
(2)=(-2,1,0)平面ADMN法向量
=(x,y,z),
=(0,2,0),
=(1,0,1) ,
所以 ,即
,解得
=(1,0,-1),
設(shè)CD與平面ADMN所成角α,則.
(3)設(shè)平面ACN法向量=(x,y,z),
所以,解得
=(1,-2,-1),
設(shè),所以
,
同理可以求出平面AEN的法向量,
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042423260004722349/SYS201304242327262660224361_DA.files/image022.png">,所以,
所以 ,
此方程無(wú)解,所以不存在符合要求的點(diǎn).
考點(diǎn):本小題主要考查空間中線線垂直、線面角和二面角.
點(diǎn)評(píng):解決立體幾何問(wèn)題,可以建立空間向量,但是證明時(shí)也要根據(jù)相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理,定理中要求的條件要一一列舉出來(lái),另外還要注意各種角的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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