Question

21.三棱錐P—ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

（Ⅰ）求證AB⊥BC;

（Ⅱ）如果AB=BC=2，求側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角的大小.　

Answer 1

21. 本小題主要考查兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)、二面角等有關(guān)知識(shí)，以及邏輯思維能力和空間想象能力.

（Ⅰ）證明：如圖，取AC中點(diǎn)D，連結(jié)PD、BD.

因?yàn)?I>PA=PC，所以PD⊥AC，

又已知面PAC⊥面ABC，

所以PD⊥面ABC，D為垂足.

因?yàn)?I>PA=PB=PC，

所以DA=DB=DC，可知AC為△ABC的外接圓直徑，

因此AB⊥BC.

（Ⅱ）解：因?yàn)?I>AB=BC，D為AC中點(diǎn)，

所以BD⊥AC.

又面PAC⊥面ABC，

所以BD⊥平面PAC，D為垂足.

作BE⊥PC于E，連結(jié)DE，

因?yàn)?I>DE為BE在平面PAC內(nèi)的射影，

所以DE⊥PC，∠BED為所求二面角的平面角.

在Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD=.

在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

所以DE===.

因此，在Rt△BDE中，tanBED==，∠BED=60°，

所以側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成的二面角為60°.