已知橢圓C1:=1(a＞b＞0)的右焦點為F,上頂點為A,P為C1上任一點,MN是圓C2:x2+(y-3)2=1的一條直徑.若與AF平行且在y軸上的截距為3-的直線l恰好與圓C2相切.

（1）求橢圓C1的離心率；

（2）若·的最大值為49，求橢圓C1的方程.

解:(1)直線l的方程為bx+cy-(3-)c=0.

因為直線l與圓C2：x2+(y-3)2=1相切,所以d==1.

可得2c2=a2,從而e=.

(2)設(shè)P(x,y),則·=(+)(+)=- =x2+(y-3)2-1=-(y+3)2+2c2+17(-c≤y≤c),

或者設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，P(x,y),因為x1+x2=0,y1+y2=6,x12+y12-6y1+8=0.

所以·=(x1-x)(x2-x)+(y1-y)(y2-y)=x2+y2-(x1+x2)x+(y1+y2)y+x1x2+y1y2=x2+y2+6y-x12+y1

(6-y1)=x2+y2+6y+8=-(y+3)2+2c2+17.

①當(dāng)c≥3時,(·)max=17+2c2=49,解得c=4,此時橢圓C1為+=1.

②當(dāng)0＜c＜3時,(·)max=-(-c+3)2+17+2c2=49,

解得c=5-3,但(5-3)-3=-6＞0,

所以5-3＞3.故c=5-3舍去.

綜上所述,橢圓C1的方程為=1.

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相關(guān)習(xí)題

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已知橢圓C1:=1，其左準(zhǔn)線為l1，右準(zhǔn)線為l2，一條以原點為頂點，l1為準(zhǔn)線的拋物線C2交l2于A、B兩點，則|AB|等于（    ）

A.8                    B.12                    C.9                    D.16

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已知橢圓C1:=1，其左準(zhǔn)線為l1，右準(zhǔn)線為l2，一條以原點為頂點，l1為準(zhǔn)線的拋物線C2交l2于A、B兩點，則|AB|等于(    )

A．2              B．4            C．8            D．16

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(1)求橢圓C1的方程;

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

 

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(A)a2= (B)a2=13

(C)b2= (D)b2=2

 

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