Question

（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知過拋物線C₁：y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn) 
（1）證明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓或雙曲線C₂過A、B兩點(diǎn)，求曲線C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的條件下，若曲線C₂的兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，線段AB上有兩點(diǎn)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），滿足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在線段F₁ F₂上是否存在一點(diǎn)P，使PD=

11

，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AB：x=my+

p

2

，代入y²=2px，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．再利用（1）的結(jié)論即可得出．
（3）利用（1）的距離即可得到p，即拋物線的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．設(shè)所求曲線方程為mx²+ny²=1，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入即可得出．
（4）當(dāng)y₁=-2

2

時(shí)，由①②可得

x3+x4=x1+x2 3(x4-x3)=x2-x1

即可解得x₄，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)P（0，t）由c²=

52

5

（c為曲線C₂的半焦距），可知，-

52 5

≤t≤

52 5

，由|PD|=

11

求得t．當(dāng)y₁=-2

2

時(shí)，同理可得．

解答：解：（1）設(shè)AB：x=my+

p

2

，代入y²=2px得：
y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²，
∵2p（x₁+x₂-p）=2px₁+2px₂-2p²=y₁²+y₂²-2p²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂-2p²
=（y₁+y₂）²+2p²-2p²=（y₁+y₂）²
∴（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）．
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y
∴4y²=2p（2x-p）
即中點(diǎn)的軌跡方程為y²=px-

1

2

p2．
（3）由（1）可得，x₁x₂=

p2

4

=4，∴p=4 曲線  C1：y2=8x
∴A（1，-2

2

），B（4，4

2

）或A（1，2

2

），B（4，-4

2

）
設(shè)所求曲線方程為mx²+ny²=1，則

m+8n=1 16m+32n=1

解得　　

m=- 1 4 n= 5 32

∴曲線C₂：

5

32

y2-

1

4

x2=1．
（4）由（3）可知：y1=±2

2

①當(dāng)y₁=-2

2

時(shí)，由①②可得

x3+x4=x1+x2 3(x4-x3)=x2-x1

解得

x3=2 x4=3

此時(shí)D（3，2

2

），
設(shè)P（0，t）由c²=

52

5

（c為曲線C₂的半焦距），
可知，-

52 5

≤t≤

52 5

，
由PD=

11

求得t₁=

2

，t₂=3

2

（舍去）
∴存在點(diǎn)P（0，

2

）
②當(dāng)y₁=2

2

時(shí)，同理解出點(diǎn)P（0，-

2

）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)的坐標(biāo)公式、三角形的面積計(jì)算公式、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．