Question

（文）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

Sn+1-1

}的前n項(xiàng)和為K_n，證明：對(duì)于任意的n∈N^*，都有K_n＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+a_n+1=4n，得a_n+1+a_n+2=4（n+1），兩式相減得a_n+2-a_n=4，由此能求出a_n=2n-1．
（2）Sn=

n(a1+an)

2

=n2，

1

Sn+1-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明對(duì)于任意的n∈N^*，都有K_n＜

3

4

．

解答： （文）（1）解：∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，
∴a_n+1+a_n+2=4（n+1），兩式相減得：
a_n+2-a_n=4，即數(shù)列{a_n}隔項(xiàng)成等差數(shù)列
又a₁=1，代入式子可得a₂=3，
∴n為奇數(shù)時(shí)，an=a1+4(

n+1

2

-1)=2n-1；
n為偶數(shù)時(shí)，an=a2+4(

n

2

-1)=2n-1．
∴n∈N^*，a_n=2n-1
（2）證明：由（1）知a_n=2n-1，數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列，
∴Sn=

n(a1+an)

2

=n2，

1

Sn+1-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴Kn=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

＜

3

4

．
∴對(duì)于任意的n∈N^*，都有K_n＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．