Question

已知圓O以原點為圓心，且過A（2

2

，1）
（1）求圓O的方程；
（2）求圓O關(guān)于直線x+y=2對稱的圓的方程；
（3）經(jīng)過點P（3，1）且與圓O相切的直線方程
（4）若直線x+2y+c=0與圓O相交所截得的弦長是

12 5

5

，求c．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）求出圓的半徑，可得圓的方程；
（2）求出圓O關(guān)于直線x+y=2對稱點坐標(biāo)，可得圓的方程；
（3）分類討論，利用直線到圓的距離等于半徑，可得直線方程；
（4）求出圓心到直線x+2y+c=0的距離，利用直線x+2y+c=0與圓O相交所截得的弦長是

12 5

5

，可求c．

解答： 解：（1）∵圓O以原點為圓心，且過A（2

2

，1）
∴r=3，
∴圓的方程為x²+y²=9---------（3分）
（2）圓O關(guān)于直線x+y=2對稱點坐標(biāo)為（2，2）--------------（6分）
∴圓的方程為（x-2）²+（y-2）²=9--------------（7分）
（3）當(dāng)過點P的切線斜率存在時，設(shè)所求切線的斜率為k，------（8分）
由點斜式可得切線方程為y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，----（9分）
∴k2+1=3，解得k=-3．
故所求切線方程為-3x-y+4+1=0，即4x+3y-15=0．----（10分）
當(dāng)過點P的切線斜率不存在時，方程為x=3，也滿足條件．
故所求圓的切線方程為4x+3y-15=0或x-3=0．-----（11分）
（4）圓心到直線x+2y+c=0的距離d=

|c|

5

，
∵直線x+2y+c=0與圓O相交所截得的弦長是

12 5

5

，
∴2

9- c2 5

=

12 5

5

，…（13分）
∴c=±3．…（14分）

點評：本題考查直線與圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．