已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)M(1,
3
2
)
,其離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+m  (|k|≤
1
2
)
與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點(diǎn)P在橢圓C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).求|OP|的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先由已知可得e2=
a2-b2
a2
=
1
4
,得出3a2=4b2①又點(diǎn)M(1,
3
2
)
在橢圓C上,得到
1
a2
+
9
4b2
=1
解之即得a,b.從而寫出橢圓C的方程;
(Ⅱ)先對(duì)k 分類討論:當(dāng)k=0時(shí),P(0,2m)在橢圓C上,解得m=±
3
2
,所以|OP|=
3
;當(dāng)k≠0時(shí),將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得|OP|的取值范圍,從而解決問題.
解答:解:(Ⅰ)由已知可得e2=
a2-b2
a2
=
1
4
,所以3a2=4b2①(1分)
又點(diǎn)M(1,
3
2
)
在橢圓C上,
所以
1
a2
+
9
4b2
=1
②(2分)
由①②解之,得a2=4,b2=3.
故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
.(5分)
(Ⅱ)當(dāng)k=0時(shí),P(0,2m)在橢圓C上,解得m=±
3
2
,
所以|OP|=
3
.(6分)
當(dāng)k≠0時(shí),則由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1.

消y化簡(jiǎn)整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0③(8分)
設(shè)A,B,P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0),
x0=x1+x2=-
8km
3+4k2
y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=
6m
3+4k2
.(9分)
由于點(diǎn)P在橢圓C上,所以
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1
.(10分)
從而
16k2m2
(3+4k2)2
+
12m2
(3+4k2)2
=1
,化簡(jiǎn)得4m2=3+4k2,經(jīng)檢驗(yàn)滿足③式.(11分)
|OP|=
x
2
0
+
y
2
0
=
64k2m2
(3+4k2)2
+
36m2
(3+4k2)2

=
4m2(16k2+9)
(3+4k2)2
=
16k2+9
4k2+3

=
4-
3
4k2+3
.(12分)
因?yàn)?span id="qm6utrh" class="MathJye">0<|k|≤
1
2
,得3<4k2+3≤4,有
3
4
3
4k2+3
<1
,
3
<|OP|≤
13
2
.(13分)
綜上,所求|OP|的取值范圍是[
3
,
13
2
]
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題.當(dāng)研究橢圓和直線的關(guān)系的問題時(shí),�?衫寐�(lián)立方程,進(jìn)而利用韋達(dá)定理來解決.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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