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設函數f(x)=
a
3
x3-
3
2
x2+(a+1)x+1
,其中a為實數.
(1)已知函數f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立,求實數x的取值范圍.
分析:(1)求出f′(x),因為函數在x=1時取極值,得到f′(1)=0,代入求出a值即可;
(2)把f(x)的解析式代入到不等式中,化簡得到a>
x2+2x
x2+2
,因為a>0,不等式恒成立即要
x2+2x
x2+2
≤0
,求出x的解集即可.
解答:解:(1)f′(x)=ax2-3x+(a+1)
由于函數f(x)在x=1時取得極值,
所以f′(1)=0
即a-3+a+1=0,∴a=1
(2)由題設知:ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1
對任意a∈(0,+∞)都成立
即a(x2+2)-x2-2x>0
對任意a∈(0,+∞)都成立
于是a>
x2+2x
x2+2
對任意a∈(0,+∞)都成立,
x2+2x
x2+2
≤0
∴-2≤x≤0
于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}.
點評:考查學生會利用導數研究函數的極值,掌握不等式恒成立時所取的條件.以及會求一元二次不等式的解集.做題時學生應掌握轉化的方法變形.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x,y)=(1+
m
y
)x(m>0,y>0)

(1)當m=3時,求f(6,y)的展開式中二項式系數最大的項;
(2)若f(4,y)=a0+
a1
y
+
a2
y2
+
a3
y3
+
a4
y4
且a3=32,求
4
i=0
ai

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=
2x
x+1
,且a1=
1
2
,  an+1=f(an)
,其中n=1,2,3,….
(I)計算a2,a3的值;
(II)設a2=2,求證:數列{bn}為等比數列;
(III)求證:
1
2
an<1

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=
2x
x+1
,且a1=
1
2
,  an+1=f(an)
,其中n=1,2,3,….
(I)計算a2,a3,a4的值;
(II)猜想數列{an}的通項公式,并用數字歸納法加以證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•自貢一模)設函數f(x)=x-ln(x+
1+x2
)

(Ⅰ) 討論函數f(x)的單調性;
(Ⅱ)若x≥0時,恒有f(x)≤ax3,試求實數a的取值范圍;
(Ⅲ)令an=
1
9
(
1
2
)6n+ln[(
1
2
)
2n
+
1+(
1
2
)
4n
](n∈N*)
,試證明:a1+a2+a3+…+an
1
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=
x-1
x
log2(x-1)-log2x
(x>1).
(I)求函數f(x)的最小值;
(Ⅱ)若m,t∈R+,且
1
m
+
1
t
=1
,求證:tlo
g
 
2
m+mlo
g
 
2
t≤mt

(Ⅲ)若a1,a2,a3,…,a2nR+,且
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
a2n
=1
,求證:
lo
g
 
2
a1
a1
+
lo
g
 
2
a2
a2
+
lo
g
 
2
a3
a3
+…+
lo
g
 
2
a2n
a2n
≤n

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