Question

等腰三角形ABC的腰AB上的中線CD的長為2，則△ABC周長的最大值

6

2

．

Answer 1

分析：設等腰三角形ABC的腰AB=AC長為2x，底為y，根據三角形中線公式，可以得到2x²+y²=8，進而由柯西不等式可以得到△ABC周長4x+y的取值范圍．

解答：解：設等腰三角形ABC的腰AB=AC長為2x，底為y，
∵腰AB上的中線CD的長為2，
由中線公式可得2x²+y²=8①
則周長C=4x+y②
由柯西不等式就可得
（2x²+y²）（8+1）≥（4x+y）²
所以4x+y≤6

2

當且僅當2x²=8y²，即x=

4 2

3

，y=

2 2

3

時
△ABC周長取最大值為6

2

故答案為：6

2

點評：本題考查的知識點是柯西不等式，其中根據三角形中線公式求出等腰三角形ABC的腰AB=AC長為2x，底為y時，2x²+y²=8是解答的關鍵．