Question

設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1），恒有，則下面關(guān)于函數(shù)f（x）判斷正確的是

1. A.
   對(duì)任意，都有f（x）＞f（1-x）
2. B.
   對(duì)任意，都有f（x）＜f（1-x）
3. C.
   對(duì)任意，都有f（x₁）＜f（x₂）
4. D.
   對(duì)任意，都有f（x₁）=f（x₂）

Answer 1

D
分析：由已知不等式將x₁、x₂互換位置，可得，再將其與已知式相加，得++任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立．再根據(jù)基本不等式，證出+≥4恒成立，所以有+=4，結(jié)合基本不等式取等號(hào)的條件，可得f（x₁）=f（x₂）對(duì)任意x₁、
x₂∈（0，1）恒成立．由以上結(jié)論，對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)，則不難得到本題的答案．
解答：∵對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1），恒有，…（1）
∴將x₁、x₂的位置互換，可得，…（2）
（1）（2）相加，得，…（3）
又∵對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0
∴由基本不等式，得且
兩式相加，得…（4）
對(duì)照（3）（4），可得任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立
結(jié)合基本不等式的等號(hào)成立的條件，可得，故f（x₁）=f（x₂）對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立．
由以上的結(jié)論，可得D選項(xiàng)正確，而C選項(xiàng)與D矛盾，故不正確
而A、B中的結(jié)論應(yīng)該改成對(duì)任意，都有f（x）=f（1-x）
故答案為：D
點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)和已知不等式，判斷幾個(gè)命題的真假性，著重考查了函數(shù)的自變量的對(duì)稱性、不等式的性質(zhì)和基本不等式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．