Question

如圖，tanC=

1

2

，以線段AB為直徑的圓交線段BC于H，以A，H為焦點(diǎn)且過(guò)C點(diǎn)的雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  5

  +2
• B．3
• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：由線段AB為直徑的圓交線段BC于H，知∠AHB=90°，由tanC=

1

2

，知

AH

CH

=

1

2

，設(shè)AH=x，則CH=2x，AC=

5

x，所以A，H為焦點(diǎn)且過(guò)C點(diǎn)的雙曲線中，2c=x，2a=（

5

-2）x，由此能求出e．

解答：解：∵線段AB為直徑的圓交線段BC于H，
∴∠AHB=90°，
∴△AHC是直角三角形，且∠AHC=90°．
∵tanC=

1

2

，
∴

AH

CH

=

1

2

，
設(shè)AH=x，則CH=2x，AC=

5

x，
∴A，H為焦點(diǎn)且過(guò)C點(diǎn)的雙曲線中，
2c=AH=x，
2a=CA-CH=（

5

-2）x，
∴e=

2c

2a

=

x

( 5  -2)x

=

5

+2．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲結(jié)的離心率的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．