Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an=

n，n=2k-1，k∈N* ak，n=2k，k∈N*

，記Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n．
（1）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．；
（2）求S_n與S_n-1的關(guān)系式；
（3）求S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式不同，進(jìn)而把a(bǔ)₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆分成奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)，根據(jù)通項(xiàng)公式表示出a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=3a₁+2a₃+a₅求得答案．
（2）先把前n項(xiàng)的和分成奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得奇數(shù)項(xiàng)的和，偶數(shù)項(xiàng)的和為S_n-1，進(jìn)而求得S_n與S_n-1的關(guān)系式；
（3）利用（2）中的遞推式，利用疊加法，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得S_n．

解答：解：（1）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．=a₁+a₁+a₃+a₂+a₅+a₃=a₁+a₁+2a₃+a₁+a₅=3a₁+2a₃+a₅=14
（2）Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
=（a₁+a₃+a₅+…+a2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a2n）
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a2n）
=4^n-1+S_n-1
（3）由（2）知S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2），即S_n-S_n-1=4^n-1，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁
=4^n-1+4^n-2+…+4+2=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

1

3

（4ⁿ+2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．