Question

在直角坐標(biāo)系中，已知A（4，0），B（0，2），C（0，-2），點E在線段AB（不含端點）上，點F在線段CD上，E、O、F三點共線．
（1）若F為線段CD的中點，證明：

OE

⊥

AB

；
（2）小題（1）的逆命題是否成立？說明理由；
（3）設(shè)

AE

=λ

EB

，

DF

=μ

FC

（λ、μ∈R），求λμ的值．

Answer 1

考點：線段的定比分點,平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由條件求得

OF

•

FB

=2-2=0，可得 OF⊥AB．再由OF∥OE可得

OE

⊥

AB

．
（2）小題（1）的逆命題成立，理由：由OF⊥AB，求得 y=2x．由C、F、D共線，可得 y=-2x-2．解方程組

y=2x y=-2x-2

，求得F的坐標(biāo)，可得F為CD的中點．
（3）設(shè)E（m，n），由定比分點坐標(biāo)公式可得 m、n的值．設(shè)F（x，y），由定比分點坐標(biāo)公式可得x，y的值．再根據(jù)E、O、F三點共線，可得

OF

∥

OF

，xn=ym，化簡可得λμ的值．

解答： 解：（1）若F為線段CD的中點，則F（-

1

2

，-1），

OF

=（-

1

2

，-1），

AB

=（-4，2），

OF

•

FB

=2-2=0，∴OF⊥AB．
又∵OF∥OE，∴

OE

⊥

AB

．
（2）小題（1）的逆命題成立，設(shè)F（x，y），由OF⊥AB 可得

OF

•

AB

=-4x+2y=0，∴y=2x．
由C、F、D共線，

CF

=（x+1，y），

CD

=（1，-2），可得

x+1

1

=

y

-2

，y=-2x-2．
解方程組

y=2x y=-2x-2

，求得

x=- 1 2 y=-1

，可得F（-

1

2

，-1），故F為CD的中點．
（3）∵

AE

=λ

EB

，設(shè)E（m，n），由定比分點坐標(biāo)公式可得 m=

4+0×λ

1+λ

=

4

1+λ

，n=

0+2λ

1+λ

=

2λ

1+λ

．
∵

DF

=μ

FC

（λ、μ∈R），設(shè)F（x，y），由定比分點坐標(biāo)公式可得x=

0+(-1)μ

1+μ

=

-μ

1+μ

，y=

-2+0×μ

1+μ

=

-2

1+μ

．
∵E、O、F三點共線，可得

OF

∥

OF

，∴xn=ym，
∴

-μ

1+μ

•

2λ

1+λ

=

-2

1+μ

•

4

1+λ

，化簡可得λμ=4．

點評：本題主要考查平面向量基本定理、線段的定比分點坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題．