Question

已知函數的值域是[1，3]．
（1）求b，c；
（2）判斷函數F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的單調性，并予以證明．

Answer 1

解：（1）∵函數的定義域為R
令，則y∈[1，3]
則（2-y）x²+bx+（c-y）=0一定有實根
即b²-4（c-y）（2-y）≥0
即4y²-（8+4c）y+8c-b²≤0
又∵[1，3]
∴1+3=，1×3=
解得b=-2，c=2
（2）由（1）得
∴F（x）=lgf（x）=
任取區(qū)間[-1，1]上兩個數x₁，x₂且x₁＜x₂
則F（x₁）-F（x₂）=-
∵，，
又外層函數是增函數，故比較與的大小即可
因為-=＞0
即F（x₁）＞F（x₂）
故函數F（x）=lgf（x）在[-1，1]上單調遞減
分析：（1）由已知中函數的值域是[1，3]，利用判別式法，我們可以構造出一個關于b，c的方程組，解方程組即可得到b，c的值；
（2）由（1）的結論我們易給出函數F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我們可以判斷出F（x₁）與F（x₂）的大小，結合函數單調性的定義，我們易判斷出函數F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的單調性．
點評：本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明及函數值域的求法，其中利用判別式法構造出一個關于b，c的方程組，求出b，c的值是解答本題的關鍵．