已知函數(shù),
,且函數(shù)
在點(diǎn)
處的切線方程為
.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),當(dāng)
時(shí),直線
的斜率恒小于
,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)證明:.
(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)
處的切線方程為
,這一條件分離出兩個(gè)條件
,然后根據(jù)這兩個(gè)條件列有關(guān)
和
的二元一次方程組,解出
和
的值進(jìn)而確定函數(shù)
的解析式;(Ⅱ)先將直線
的斜率利用點(diǎn)
的坐標(biāo)表示,然后建立以
為自變量的函數(shù),對參數(shù)
進(jìn)行分類討論,即可求出參數(shù)
的取值范圍;(Ⅲ)證明不等式
,構(gòu)造函數(shù)
,等價(jià)轉(zhuǎn)化為
,借助極小值,但同時(shí)需要注意有些時(shí)候相應(yīng)整體的代換.
試題解析:(Ⅰ),
. 1分
函數(shù)
在點(diǎn)
處的切線方程為
,
即
, 解得
, 2分
. 3分
(Ⅱ)由、
,得
,
∴“當(dāng)時(shí),直線
的斜率恒小于
”
當(dāng)
時(shí),
恒成立
對
恒成立. 4分
令,
.
則, 5分
(。┊(dāng)時(shí),由
,知
恒成立,
∴在
單調(diào)遞增,
∴,不滿足題意的要求. 6分
(ⅱ)當(dāng)時(shí),
,
,
,
∴當(dāng) ,
;當(dāng)
,
.
即在
單調(diào)遞增;在
單調(diào)遞減.
所以存在使得
,不滿足題意要求. 7分
(ⅲ)當(dāng)時(shí),
,對于
,
恒成立,
∴在
單調(diào)遞減,恒有
,滿足題意要求. 8分
綜上所述:當(dāng)時(shí),直線
的斜率恒小于
. 9分
(Ⅲ)證明:令,
則,
10分
,
函數(shù)
在
遞增,
在
上的零點(diǎn)最多一個(gè).11分
又,
,
存在唯一的
使得
, 12分
且當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
即當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
在
遞減,在
遞增,
從而. 13分
由得
且
,
,
,從而證得
. 14分
考點(diǎn):函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(09年北京四中期中)(14分)已知函數(shù),
,且函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,在區(qū)間
上單調(diào)遞減.
(1)若,求
的值;
(2)求證:;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年吉林長春實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù),
,且函數(shù)
在
處取得極值
。
(1)求的解析式與單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù),對任意的
,都存在
,使得
成立?若存在,求出實(shí)數(shù)
的取值范圍;若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆河北省高一9月月考數(shù)學(xué)試卷 題型:填空題
已知函數(shù) ,
,且函數(shù)
在區(qū)間(2,+∞)上是減函數(shù),則
的值 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年河北省南宮中學(xué)高一9月月考數(shù)學(xué)試卷 題型:填空題
已知函數(shù) ,
,且函數(shù)
在區(qū)間(2,+∞)上是減函數(shù),則
的值 .
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