Question

（本題滿分16分）已知函數(shù).

（1）若，且不等式在上恒成立，求證:；

（2）若，且不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，求不等式在上恒成立的充要條件.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）只要找到不等式在上恒成立的條件，就能達到證明的目的，對于開口向上的拋物線，函數(shù)值非負的條件是；（2）恒成立求參數(shù)范圍，經(jīng)常采用參數(shù)分離法，然后將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，至于最值的求法可用不等式或?qū)��?shù)求得；（3）且，所以問題就轉(zhuǎn)化為研究在上的最值，從而求出的范圍.

試題解析：（1）不等式在上恒成立，即，即在上恒成立，因為，必有成立，即，又，所以有成立.

（2）當(dāng)時，不等式在上恒成立，即，即在上恒成立，當(dāng)時，不等式顯然成立，當(dāng)時，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)（），則有，所以在上為減函數(shù)，，所以在上恒成立，只需，即.

（3）當(dāng)時，不等式在上恒成立，即在上恒成立，因為，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，可將問題可等價轉(zhuǎn)化為：或或，解得或或，綜上即，.

考點：與二次函數(shù)相關(guān)的不同形態(tài)的恒成立問題，以及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.