在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥面ABC,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且.
(Ⅰ)求證:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
(Ⅰ)取的中點(diǎn)M,
為
的中點(diǎn),又
為
的中點(diǎn),∴
在三棱柱
中,
分別為
的中點(diǎn),
,且
則四邊形A1DBM為平行四邊形,
,又
平面
,
平面
平面
(Ⅱ)
【解析】
試題分析:取的中點(diǎn)M,
,
為
的中點(diǎn),又
為
的中點(diǎn),∴
,
在三棱柱中,
分別為
的中點(diǎn),
,且
,
則四邊形A1DBM為平行四邊形,,
,又
平面
,
平面
,
平面
. 6分
(Ⅱ)連接DM,分別以、
、
所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則
,
,
,
,
∴,
,
.
設(shè)面BC1D的一個法向量為,面BC1E的一個法向量為
,
則由得
取
,
又由得
取
,
則,
故二面角E-BC1-D的余弦值為. 12分
考點(diǎn):線面平行的判定及二面角求解
點(diǎn)評:利用空間向量法證明線面平行只需證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在面內(nèi)即可,求二面角時首先找到兩面的法向量,求出法向量的夾角,觀察圖形得到二面角(等于夾角或與夾角互補(bǔ))
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2 |
π |
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