Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=

1

2-an

，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an-1

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，證明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n（

9

10

）ⁿ，證明：對任意的正整數(shù)n、m均有|b_n-b_m|＜

3

5

．

Answer 1

分析：（1）要證明數(shù)列{

1

an-1

}為等差數(shù)列，我們可以根據(jù)a_n+1=

1

2-an

，判斷

1

an+1-1

-

1

an-1

的值，是否是一個常數(shù)；
（2）由（1）的結(jié)論，我們易給出數(shù)列{a_n}的通項公式，然后利用放縮法對結(jié)論進(jìn)行證明；
（3）由（2）中數(shù)列{a_n}的通項公式，我們根據(jù)b_n=a_n（

9

10

）ⁿ，不難給出{b_n}的通項公式，分析數(shù)列{b_n}的單調(diào)性，不難給出|b_n-b_m|的取值范圍，進(jìn)而得到|b_n-b_m|＜

3

5

．

解答：解：（Ⅰ）因為

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
即

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1.
所以數(shù)列{

1

an-1

}為等差數(shù)列
（Ⅱ）由（1）知：

1

an-1

=

1

a1-1

+（n-1）×（-1）=-n
所以a_n=1-

1

n

設(shè)f（x）=x-ln（x+1）（x＞0），則f′（x）=1-

1

x+1

＞0
∴f（x）在（0，+∞）為遞增函數(shù)，且f（x）在[0，+∞]上連續(xù)．
∴f（x）＞f（0）=0，∴當(dāng)x＞0時，x＞ln（x+1）成立．
所以ln（1+

1

n

）＜

1

n

，1-

1

n

＜1-ln（1+

1

n

）
所以a_n=1-

1

n

＜1-ln（n+1）+lnn
所以S_n＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）++[1-ln（n+1）+lnn]
即S_n＜n-ln（n+1）
（Ⅲ）因為b_n=

n-1

n

×（

9

10

）ⁿ，
當(dāng)

bn

bn+1

=

n-1

n

×

n+1

n

×

10

9

=

n2-1

n2

×

10

9

，
當(dāng)

bn

bn+1

=

n2-1

n2

×

10

9

＞1，n＞

10

，即n≥4
當(dāng)

bn

bn+1

=

n2-1

n2

×

10

9

＜1，n＜

10

，即n≤3．
所以b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞
又因為n≥2時，b_n＞0，并且b₁=0，所以0≤b_n≤b₄
對任意的正整數(shù)n、m，均有|b_n-b_m|的最大值為
b₄-b₁=

3

4

×（

9

10

）⁴-0=

19683

40000

＜

24000

40000

=

3

5

所以對任意的正整數(shù)n、m，均有|b_n-b_m|＜

3

5

點評：要判斷一個數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數(shù)列連續(xù)兩項之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項法，判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差（比）中項；③通項公式法，判斷其通項公式是否為一次（指數(shù)）型函數(shù)；④前n項和公式法．