解(Ⅰ)因為 函數(shù)f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/66999.png)
,x>0,則 f′(x)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/85021.png)
,
當(dāng) 0<x<1時,>0;當(dāng) x>1時,f′(x)<0.
所以 f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)在 x=1處取得極大值;….(2分)
因為函數(shù)f(x)在區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/195463.png)
(其中k>0)上存在極值,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508471.png)
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/389065.png)
;….(4分)
(Ⅱ)不等式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/195464.png)
,又x≥2,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508472.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508473.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508474.png)
;….(6分)
令h(x)=x-2lnx,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508475.png)
,∵x≥2,h′(x)≥0,∴h(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,∴h(x)
min=h(2)=2-2ln2>0,
從而 g′(x)>0,故g(x)在[2,+∞)上也單調(diào)遞增,所以g(x)
min=g(2)=2(1+ln2),
所以.a(chǎn)≤2(1+ln2);….(8分)
(Ⅲ)由(2)知:當(dāng)a=3時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508476.png)
恒成立,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508477.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508478.png)
,
令 x=n(n+1)-2,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508479.png)
;….(10分)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508480.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508481.png)
,…
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508479.png)
,
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508482.png)
n個不等式相加得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508483.png)
>2n-3
即(2•3-2)(3•4-2)…(n(n+1)-2)((n+1)(n+2)-2)>e
2n-3….(14分)
分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)的極值為f(1),再由函數(shù)f(x)在區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/195463.png)
(其中k>0)上存在極值可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508471.png)
,由此求得實數(shù)k的取值范圍.
(Ⅱ)由題意可得x≥2時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508472.png)
,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508484.png)
最小值,從而得到實數(shù)a的取值范圍.
(Ⅲ)由(2)知:當(dāng)a=3時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508476.png)
恒成立,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508478.png)
,令 x=n(n+1)-2,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508479.png)
.可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508480.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508481.png)
,…
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508479.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/508482.png)
,把這n個不等式相加化簡即得所證.
點評:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點取得極值的條件,函數(shù)的恒成立問題,不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于難題.