【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,貴陽一中“保護飲用水源地”課題研究小組的同學(xué)們對紅楓湖、百花湖、阿哈水庫、花溪水庫、北郊水庫5處水源地進行了樣本采集并送環(huán)保部門進行水質(zhì)檢測.已知5處水源地中有1處被某污染物污染,需要通過檢測水源樣本來確定被污染的水源地現(xiàn)有三個檢測方案:
方案甲:對5個樣本逐個檢測,直到能確定被污染的水源地為止.
方案乙:先任取1個樣本進行檢測,若檢測到污染物,則檢測結(jié)束;若未檢測到污染物,則在剩余4個樣本中任取2個,并將這2個樣本取部分混合在一起檢測,若檢測到污染物,則再在這2個樣本中任取一個檢測,否則在剩余2個未檢測樣本中任取一個檢測.
方案丙:先任取2個樣本,并將這2個樣本取部分混合在一起檢測,若檢測到污染物,則再在這2個樣本中任取一個檢測;若未檢測到污染物,則對剩余3個未檢測樣本進行逐個檢測,直到能確定被污染的水源地為止.假設(shè)隨機變量分別表示用方案甲、方案乙、方案丙進行檢測所需的檢測次數(shù).
(1)求能取到的最大值和其對應(yīng)的概率;
(2)求的期望假設(shè)每次檢測的費用都相同,請從經(jīng)濟角度說明方案乙和方案丙哪一個更適合?
【答案】(1)的最大值為4,
;
的最大值為3,
;
的最大值為3,
(2)方案丙更適合
【解析】
(1)根據(jù)題意可分析得到用方案甲最多需檢測4次,即前3次均未檢測到污染物;用方案乙最多需檢測3次,即先任取1個樣本進行檢測時未檢測到污染物;用方案丙最多需檢測3次,即先任取2個樣本混合檢測時未檢測到污染物,且對剩余3個樣本檢測時第一次未檢測到污染物,分別求得概率即可;
(2)的可能取值為1,3,由(1)可得
,即可求得
;
的可能取值為2,3,由(1)可得
,即可求得
,比較
與
,越小的越合適.
解:(1)用方案甲最多需檢測4次,即前3次均未檢測到污染物,
則的最大值為4,所以
;
用方案乙最多需檢測3次,即先任取1個樣本進行檢測時未檢測到污染物,
則的最大值為3,
;
用方案丙最多需檢測3次,即先任取2個樣本混合檢測時未檢測到污染物,且對剩余3個樣本檢測時第一次未檢測到污染物,
則的最大值為3,
.
(2)的可能取值為1,3,由(1)可知
,所以
,
則;
的可能取值為2,3,由(1)可知
,所以
,
,
因為,所以方案丙所需的檢測次數(shù)期望較少,所需的檢測費用期望較低,所以方案丙更適合.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家電公司進行關(guān)于消費檔次的調(diào)查,根據(jù)家庭年均家電消費額將消費檔次分為4組:不超過3000元、超過3000元且不超過5000元、超過5000元且不超過10000元、超過10000元,從A、B兩市中各隨機抽取100個家庭,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
消費 檔次 | 不超過3000元 | 超過3000元 且不超過5000元 | 超過5000元 且不超過10000元 | 超過10000元 |
A市 | 20 | 50 | 20 | 10 |
B市 | 50 | 30 | 10 | 10 |
年均家電消費額不超過5000元的家庭視為中低消費家庭,超過5000元的視為中高消費家庭.
(1)從A市的100個樣本中任選一個家庭,求此家庭屬于中低消費家庭的概率;
(2)現(xiàn)從A、B兩市中各任選一個家庭,分別記為甲、乙,估計甲的消費檔次不低于乙的消費檔次的概率;
(3)以各消費檔次的區(qū)間中點對應(yīng)的數(shù)值為該檔次的家庭年均家電消費額,估計A、B兩市中,哪個市的家庭年均家電消費額的方差較大(直接寫出結(jié)果,不必說明理由).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
是偶函數(shù),若方程
在區(qū)間
(其中
為自然對數(shù)的底)上有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)
的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且(2b﹣c)cosA=acosC.
(1)求A;
(2)若△ABC的面積為,求a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).M是曲線
上的動點,將線段OM繞O點順時針旋轉(zhuǎn)
得到線段ON,設(shè)點N的軌跡為曲線
.以坐標(biāo)原點O為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在(1)的條件下,若射線與曲線
分別交于A, B兩點(除極點外),且有定點
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若橢圓的離心率等于
,拋物線
的焦點在橢圓
的頂點上.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過的直線
與拋物線
交于
、
兩點,又過
、
作拋物線
的切線
、
,當(dāng)
時,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,直線
與曲線y=f(x)和y=g(x)分別交于M,N兩點,設(shè)曲線y=f(x)在點M處的切線為
,在點N處的切線為
(1)當(dāng)b=1時,若,求a的值
(2)若,求實數(shù)a的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某果園種植“糖心蘋果”已有十余年,為了提高利潤,該果園每年投入一定的資金,對種植采摘包裝宣傳等環(huán)節(jié)進行改進.如圖是2009年至2018年,該果園每年的投資金額(單位:萬元)與年利潤增量
(單位:萬元)的散點圖:
該果園為了預(yù)測2019年投資金額為20萬元時的年利潤增量,建立了關(guān)于
的兩個回歸模型;
模型①:由最小二乘公式可求得與
的線性回歸方程:
;
模型②:由圖中樣本點的分布,可以認為樣本點集中在曲線:的附近,對投資金額
做交換,令
,則
,且有
,
,
,
.
(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計量,求模型②中關(guān)于
的回歸方程;
(2)分別利用這兩個回歸模型,預(yù)測投資金額為20萬元時的年利潤增量(結(jié)果保留兩位小數(shù));
(3)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較兩種模型的相關(guān)指數(shù),并說明誰的預(yù)測值精度更高更可靠.
回歸模型 | 模型① | 模型② |
回歸方程 | ||
102.28 | 36.19 |
附:樣本的最小乘估計公式為
,
;
相關(guān)指數(shù).
參考數(shù)據(jù):,
.
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