Question

已知

a

=（

3

sinx，1），

b

=（cosx，2）．
（1）若

a

∥

b

，求tan2x的值；
（2）若f（x）=（

a

-

b

）•

b

，求f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平面向量共線（平行）的坐標表示

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量共線定理、倍角公式即可得出；
（2）利用數量積運算性質、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）=（

a

-

b

）•

b

=

a

•

b

-

b

2=sin(2x-

π

6

)-

5

2

，再利用正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）

a

∥

b

⇒2

3

sinx-cosx=0，
∴tanx=

3

6

；
∴tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

4 3

11

．
（2）f（x）=（

a

-

b

）•

b

=

a

•

b

-

b

2=

3

sinxcosx+2-cos2x-4=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-2
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

5

2

=sin(2x-

π

6

)-

5

2

，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z⇒-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
所以f（x）的單調遞增區(qū)間是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]k∈Z．

點評：本題考查了向量共線定理、倍角公式、數量積運算性質、兩角和差的正弦公式、正弦函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．