【題目】如圖，曲線由兩個(gè)橢圓：和橢圓：組成，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，稱曲線為“貓眼曲線”.

（1）若貓眼曲線過(guò)點(diǎn)，且的公比為，求貓眼曲線的方程；

（2）對(duì)于題（1）中的求貓眼曲線，任作斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為M，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為N，求證：為與無(wú)關(guān)的定值；

（3）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求面積的最大值.

【答案】（1），（2）見解析（3）見解析

【解析】

由題意知，，從而求貓眼曲線的方程；設(shè)交點(diǎn)，，從而可得，聯(lián)立方程化簡(jiǎn)可得，；從而解得設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程化簡(jiǎn)，從而可得，同理可得，從而利用兩平行線間距離表示三角形的高，再求；從而求最大面積．

（1），，

，；

（2）設(shè)斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，線段中點(diǎn)

由，得

存在且，，且

，即

同理，

得證

（3）設(shè)直線的方程為

，

，

，

，

兩平行線間距離：

的面積最大值為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（a，b∈R）為奇函數(shù).

（1）求b值；

（2）當(dāng)a=﹣2時(shí)，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

（3）當(dāng)a≥1時(shí)，求證：函數(shù)g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在區(qū)間（﹣∞，﹣1]上至多有一個(gè)零點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的所有項(xiàng)都是不等于的正數(shù)，的前項(xiàng)和為，已知點(diǎn)在直線上（其中常數(shù)，且）數(shù)列，又.

（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）如果，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若果存在使得點(diǎn)和都在直線在上，是否存在自然數(shù)，當(dāng)（）時(shí)，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值；

（3）若，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得是遞增數(shù)列？若存在，求出的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求證：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；

（2）記為函數(shù)的反函數(shù)．若關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍；

（3）若對(duì)于恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)，在軸上，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)， 且，的面積為3.

（1）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線分別與拋物線和橢圓交于，，若，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】記點(diǎn)到圖形上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)到圖形的距離，那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是 （ ）

A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)作與平行的直線交于點(diǎn)，若，求．

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