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【題目】如圖，曲線由兩個橢圓：和橢圓：組成，當成等比數列時，稱曲線為“貓眼曲線”.

（1）若貓眼曲線過點，且的公比為，求貓眼曲線的方程；

（2）對于題（1）中的求貓眼曲線，任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點為M，交橢圓所得弦的中點為N，求證：為與無關的定值；

（3）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點，為橢圓上的任意一點（點與點不重合），求面積的最大值.

【答案】（1），（2）見解析（3）見解析

【解析】

由題意知，，從而求貓眼曲線的方程；設交點，，從而可得，聯(lián)立方程化簡可得，；從而解得設直線l的方程為，聯(lián)立方程化簡，從而可得，同理可得，從而利用兩平行線間距離表示三角形的高，再求；從而求最大面積．

（1），，

，；

（2）設斜率為的直線交橢圓于點，線段中點

由，得

存在且，，且

，即

同理，

得證

（3）設直線的方程為

，

，

，

，

兩平行線間距離：

的面積最大值為

練習冊系列答案
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【題目】已知函數，（a，b∈R）為奇函數.

（1）求b值；

（2）當a=﹣2時，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求實數t的取值范圍；

（3）當a≥1時，求證：函數g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在區(qū)間（﹣∞，﹣1]上至多有一個零點.

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【題目】已知函數.

（1）求函數在上的單調遞增區(qū)間；

（2）將函數的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.求證：存在無窮多個互不相同的整數，使得.

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【題目】設數列的所有項都是不等于的正數，的前項和為，已知點在直線上（其中常數，且）數列，又.

（1）求證數列是等比數列；

（2）如果，求實數的值；

（3）若果存在使得點和都在直線在上，是否存在自然數，當（）時，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.

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【題目】已知函數（為常數，且），且數列是首項為，公差為的等差數列.

（1）求證：數列是等比數列；

（2）若，當時，求數列的前項和的最小值；

（3）若，問是否存在實數，使得是遞增數列？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．

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【題目】已知函數．

（1）求證：函數在內單調遞增；

（2）記為函數的反函數．若關于的方程在上有解，求的取值范圍；

（3）若對于恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】長軸長為的橢圓的中心在原點，其焦點，在軸上，拋物線的頂點在原點，對稱軸為軸，兩曲線在第一象限內相交于點， 且，的面積為3.

（1）求橢圓和拋物線的標準方程；

（2）過點作直線分別與拋物線和橢圓交于，，若，求直線的斜率.

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【題目】記點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離，那么平面內到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是 （ ）

A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的普通方程和的直角坐標方程；

（2）過點作傾斜角為的直線交于兩點，過作與平行的直線交于點，若，求．

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