Question

（2011•黃岡模擬）已知f（x）=tx³-2x²+1．
（I）若f′（x）≥0對任意t∈[-1，1]恒成立，求x的取值范圍；
（II）求t=1，求f（x）在區(qū)間[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=3tx²-4x，令g（t）=3x²t-4x，由

g(-1)≥0 g(1)≥0

，能求出x的取值范圍．
（II）由f（x）=x³-2x²+1，知f′（x）=3x²-4x=x（3x-4），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，0）和（

4

3

，+∞）為遞增函數(shù)；令f′（x）＜0，得f（x）在（0，

4

3

）為遞減函數(shù)．由此進行分類討論，能求出f（x）在區(qū)間[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．

解答：解：（I）f′（x）=3tx²-4x，令g（t）=3x²t-4x，
則有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
∴

-3x2-4x≥0 3x2-4x≥0

，
解得-

4

3

≤x≤0．
∴x的取值范圍是[-

4

3

，0]．
（II）f（x）=x³-2x²+1，
f′（x）=3x²-4x=x（3x-4），
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞

4

3

．
令f′（x）＜0，得0＜x＜

4

3

，
∴f（x）在（-∞，0）和（

4

3

，+∞）為遞增函數(shù)；
在（0，

4

3

）為遞減函數(shù)．
∵f（0）=1，f(

4

3

) =-

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，
令f（x）=1，得x=0或x=2．
①當a+3＜0，即a＜-3時，f（x）在[a，a+3]單調(diào)遞增．
∴h（a）=f（a+3）=a³+7a²+15a+10．
②當0≤a+3≤2，即-3≤a≤-1時，h（a）=f（0）=1．
③當a+3＞2，即0＞a＞-1時，
h（a）=f（a+3）=a³+7a²+15a+10．
∴h(a)=

1，                          (-3≤a≤-1) a3+7a2+15a+10  (a＜-3或a＞-1)

．

點評：本題考查導數(shù)在求最大值和求最小值時的實際應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意分類討論思想的靈活運用．