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已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB1
(1)求證:BC1∥平面CA1D
(2)求證:平面CA1D⊥平面AA1B1B
(3)求二面角C-DA1-C1的余弦值.

【答案】分析:(1)設(shè)AC1與A1C交于O,連接DO,則可得O為AC1的中點,則由OD∥BC1結(jié)合線面平行的判定定理可證
(2)根據(jù)面面垂直的判定定理可證,要證明平面CA1D⊥平面AA1B1B,結(jié)合已知,只要先證BB1⊥CD,CD⊥AB,進而有CD⊥平面AA1B1B,根據(jù)面面垂直的判定定理即可證
(3)設(shè)AC=BC=BB1=a,,通過計算可得A1D⊥DC
過C1作C1M⊥A1D垂足為M,則可得,過M作MN∥DC與A1C交于N,則MN⊥A1D,則∠NMC1即為二面角角C-DA1-C1的平面角,在△MNC1中,由余弦定理可得,可求
解答:證明:(1)設(shè)AC1與A1C交于O,連接DO,則可得O為AC1的中點
所以O(shè)D∥BC1
因為DO?平面CA1D,BC1?平面CA1D
所以BC1∥平面CA1D
(2)由直三棱柱ABC-可得BB1⊥平面ABC
所以BB1⊥CD
又AC=BC,D為AB的中點∴CD⊥AB
∵AB∩BB1=B
∴CD⊥平面AA1B1B
又∵CD?平面CA1D
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B
(3)解:設(shè)AC=BC=BB1=a,則可得,
∴A1D2+DC2=A1C2,即A1D⊥DC
在△C1DA1中,,A1C1=a
過C1作C1M⊥A1D垂足為M,則可得,過M作MN∥DC與A1C交于N,則MN⊥A1D
∴∠NMC1即為二面角角C-DA1-C1的平面角
在△MNC1中,MC1=,,
由余弦定理可得,=
點評:本題是一道綜合性較強的試題,綜合考查了線面平行(垂直)的判定定理的應(yīng)用及線線平行(垂直),線面平行(垂直),面面平行(垂直)的相互轉(zhuǎn)化,難點在于二面角的求解.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分別是棱CC1、AB中點.
(Ⅰ)求證:CF⊥BB1;
(Ⅱ)求四棱錐A-ECBB1的體積;
(Ⅲ)判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系,并加以證明.

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已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,且D,E,F(xiàn)分別為BC,BB1,AA1的中點.
(I) 求證:平面B1FC∥平面EAD;
(II)求證:BC1⊥平面EAD.

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如圖所示,已知直三棱柱ABC-A′B′C′,AC=AB=AA′=2,AC,AB,AA′兩兩垂直,E,F(xiàn),H分別是AC,AB,BC的中點,
(I)證明:EF⊥AH;    
(II)求四面體E-FAH的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2,底面△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D是A A1的中點.
(Ⅰ)求異面直線AB和C1D所成的角(用反三角函數(shù)表示);
(Ⅱ)若E為AB上一點,試確定點E在AB上的位置,使得A1E⊥C1D;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點D到平面B1C1E的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC;M.N.P分別是棱BC.CC1.B1C1的中點.A1Q=3QA, BC=
2
AA1

(Ⅰ)求證:PQ∥平面ANB1;
(Ⅱ)求證:平面AMN⊥平面AMB1

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同步練習冊答案
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