Question

在△ABC中，若三邊a，b，c成等差數列，sinA，sinB，sinC成等比數列，則△ABC的形狀是________三角形．（填寫“等腰”、“等邊”、“直角”或“等腰直角”之一）

Answer 1

等邊
分析：由三角形的三邊成等差數列，根據等差數列的性質得到a+c=2b，記作①，再由sinA，sinB及sinC成等比數列，根據等比數列的性質得到一個關系式，利用正弦定理化簡得到關于a，b及c的關系式，記作②，聯立①②消去b得到關于a與c的關系式，變形可得出a=c，從而得到a，b及c都相等，故三角形為等邊三角形．
解答：∵三邊a，b，c成等差數列，∴a+c=2b①，
又sinA，sinB，sinC成等比數列，
∴sin²B=sinA•sinC，
根據正弦定理化簡得：b²=ac②，
由①得：b=，代入②得：
=ac，即（a-c）²=0，
∴a=c，故b=a=c，
則三角形為等邊三角形．
故答案為：等邊
點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有等差數列的性質，等比數列的性質，正弦定理以及等邊三角形的判定，靈活運用等差及等比數列的性質及正弦定理得出關于三角形三邊的兩關系式是解本題的關鍵．