Question

本題共有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則以所做的前2題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T₁是逆時針旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換，對應的變換矩陣為M₁，變換T₂對應的變換矩陣是M2=

11 01

；
（I）求點P（2，1）在T₁作用下的點Q的坐標；
（II）求函數(shù)y=x²的圖象依次在T₁，T₂變換的作用下所得的曲線方程．
（2）選修4-4：極坐標系與參數(shù)方程
從極點O作一直線與直線l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一點P，使得OM•OP=12．
（Ⅰ）求動點P的極坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)R為l上的任意一點，試求RP的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|6x+a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集為{x|x≥

1

2

或x≤-

5

6

}，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x-1）＞b對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出M₁，可得點P（2，1）在T₁作用下的點Q的坐標．設(shè)變換為M，則M=M₂M₁=

1-1 1  0

，設(shè)（x，y）是變換后曲線上的任意一點，與之對應的變換前的點是（x₀，y₀），根據(jù) 

1-1 1  0

x0 y0

=

x0-y0 x0

，可得x=x₀-y₀，x₀=y，再由
又y₀=x₀²，得到 y-x=y²．
（2）設(shè)動點P的極坐標（ρ，θ），點M的極坐標為（ρ₀，θ₀），則ρρ₀=12，可得ρ=3cosθ （扣除極點）．
根據(jù)P的軌跡是以（1.5，0）為圓心，以1.5為半徑的圓，得RP的最小值為1．
（3）由|6x+a|≥4 解得x≥

4-a

6

，或 x≤

-4-a

6

，從而

4-a

6

=

1

2

，

-4-a

6

=-

5

6

，解得 a=1，求出f（x）
的解析式，求出f（x）+f（x-1）的最小值為12，可得b＜12．

解答：（1）解：（Ⅰ）M1=

0 -1 1 0

  ，M1 

2 1

=

-1 2

，點P（2，1）在T₁作用下的點Q的坐標為（-1，2）．…4分
（II）設(shè)變換為M，則M=M₂M₁=

1-1 1  0

，設(shè)（x，y）是變換后曲線上的任意一點，與之對應的變換前的點是（x₀，y₀），
則有 

1-1 1  0

x0 y0

=

x0-y0 x0

，∴x=x₀-y₀，x₀=y．
又y₀=x₀²，∴y-x=y²．
（2）解：（Ⅰ）設(shè)動點P的極坐標（ρ，θ），點M的極坐標為（ρ₀，θ₀），則ρρ₀=12．
又ρ₀cosθ=4，∴ρ=3cosθ （扣除極點）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，動點P的軌跡是以（1.5，0）為圓心，以1.5為半徑的圓，故RP的最小值為1．
（3）解：由|6x+a|≥4 解得x≥

4-a

6

，或 x≤

-4-a

6

，∴

4-a

6

=

1

2

，

-4-a

6

=-

5

6

，
解得 a=1． 此時，f（x）=|6x+1|，f（x+1）=|6x+7|，f（x-1）=|6x-5|．
f（x）+f（x-1）=|6x+7|+|6x-5|≥|（6x+7）-（6x-5）|=12，故b＜12．

點評：本題考查矩陣運算，簡單曲線的極坐標方程，函數(shù)的恒成立問題，是一道基礎(chǔ)題．