Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0）上為增函數(shù)，在[0，2]上為減函數(shù)，又方程f（x）=0有三個(gè)根α，2，β．
（I）求c的值并比較f（l）與2的大��；
（II）求|α-β|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用已知函數(shù)的單調(diào)性可判斷函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為x=0，由f′（0）=0即可得c的值，再利用函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)該在函數(shù)的零點(diǎn)之間，且方程的一個(gè)零點(diǎn)為2的特點(diǎn)，比較f（l）與2的大小
（II）由于方程f（x）=0有三個(gè)根α，2，β．故可設(shè)函數(shù)為f（x）=（x-α）（x-2）（x-β），展開后找到α、β與b、d的關(guān)系，進(jìn)而利用（I）中的結(jié)論，將|α-β|的平方表示為關(guān)于b的一元函數(shù)，求其取值范圍即可
解答：解：（I）∵f′（x）=3x²+2bx+c
∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0）上為增函數(shù)，在[0，2]上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在x=0時(shí)取得極值，即f′（0）=0
∴c=0
∴f（1）=1+b+d
又f′（x）=3x²+2bx的兩根為0，-，而方程f（x）=0有三個(gè)根α，2，β．
∴-≥2，且8+4b+d=0
∴b≤-3且d=-8-4b
∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2
（Ⅱ）∵f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）=x³-（α+β+2）•x²-2αβ
∴α+β+2=-b，-2αβ=d；
∴|β-α|²=（α+β）²-4αβ
=（b+2）²+2d
=b²+4b+4-16-8b
=b²-4b-12
=（b-2）²-16
又∵b≤-3，
∴|β-α|²≥25-16=9
∴|β-α|≥3
當(dāng)且僅當(dāng)b=-3時(shí)取最小值，此時(shí)d=4
故|α-β|的取值范圍為[3，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值中的應(yīng)用，三次函數(shù)的根與極值點(diǎn)間的關(guān)系，將變量表示為關(guān)于另一變量的函數(shù)的能力，代數(shù)變換能力，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法