已知:f(x)=log3數(shù)學公式,x∈(0,+∞),是否存在實數(shù)a,b,使f(x)同時滿足下列三個條件:
(1)在(0,1]上是減函數(shù),
(2)在[1,+∞)上是增函數(shù),
(3)f(x)的最小值是1.
若存在,求出a、b;若不存在,說明理由.

解:∵f(x)在(0,1]上是減函數(shù),在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴x=1時,f(x)取最小值1,即log3=1,解得a+b=2,①
設0<x1<x2≤1,則f(x1)>f(x2),即恒成立,
移項通分并化簡可得>0恒成立,
∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0恒成立,∴b≥1,
設1≤x3<x4,則f(x3)<f(x4)恒成立,即<0恒成立,
∵x3-x4<0,x3x4>0,∴x3x4-b>0恒成立,∴b≤1,
綜上可得b=1,代入①式可得a=1,
故存在a=b=1滿足題意.
分析:由題意可得log3=1,解得a+b=2①,由函數(shù)的單調區(qū)間,設0<x1<x2≤1,由f(x1)>f(x2)可得b≥1,同理可得b≤1,進而b=1,代入①式可得a值.
點評:本題考查函數(shù)的單調性和值域,涉及恒成立問題,屬中檔題.
練習冊系列答案
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