Question

設直線l：4x+3y+a=0和圓C：x²+y²+2x-4y=0．
（1）當直線l過圓C的圓心時，求實數a的值；
（2）當a=3時，求直線l被圓C所截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）求出圓C的圓心為（-1，2），代入直線l方程并解之即可得到實數a值．
（2）設直線l與圓C交于M、N兩點，作CD⊥l于D點．利用點到直線的距離公式算出C到l的距離，再由垂徑定理即可算出直線l被圓C所截得的弦長．

解答：解：（1）由x²+y²+2x-4y=0，化成標準方程得（x+1）²+（y-2）²=5．
∴圓C的圓心為（-1，2），半徑r=

5

．   …（2分）
∵直線l過圓C（-1，2），
∴C的坐標代入，得-4+6+a=0，解得a=-2．        …（4分）
（2）設直線l與圓C交于M、N兩點，作CD⊥l于D點
當a=3時，圓心（-1，2）到直線l：4x+3y+3=0的距離為
d=|CD|=

|4×(-1)+3×2+3|

42+32

=1． …（7分）
因此，可得|MN|=2

r2-d2

=2

5-1

=4．
即直線l被圓C所截得的弦長為4．  …（10分）

點評：本題給出已知圓和動直線，求當直線l過圓時的a值，并求直線l被圓截得的弦長．著重考查了圓的方程、點到直線的距離公式和垂徑定理等知識，屬于中檔題．